Hi
Also erst mal frage ich mich, was du dir von einem Webserver, der via Smartphone im Netz ist, versprichst.
Ich denke mal, dass es dich weniger kosten würde, Wespace oder einen VServer zu mieten. Ganz sicher wäre es aber die sehr sehr viel bessere Lösung im Bezug auf Preformance und Stabilität.
Aber zu deiner Frage, es ist möglich, ein Webserver einzurichten. Es ist auch nur mässig schwierig, allerdings schwerer als was zu mieten 
Du brauchst dazu einige Opensource Programme, kannst aber auch einfach XAMPPinstallieren, da ist alles was du brauchst dabei. Soviel zum einrichten deines eigenen Servers.
Da du ja aber über dein Smartphone und (ich hoffe mal) LTE ins Internet verbinden möchtest, musst du eventuell noch ein Tunneling vornehmen. Ich kann nicht abschätzen, welche Ports über dein Handy gehen, ich kann selbst alle notwenidigen Ports nutzen, aber das hängt auch vom Provider ab. Wenn du also ein Portproblem bekommst, würde ich zB Private Tunnelempfehlen.
(Kostet zwar 5 Euro für 50 GB Daten, aber bei deinem Aufbau sollte das egal sein. Es gibt auch andere Tunnel Dienste die gratis sind, aber das wird zu komplikationen führen, da diese sich über Werbung finanzieren im Browser die bei dir ja nicht angezeigt würde, was zur schnellen deaktivierung füren würde.)
Durch das tunneling werden alle Daten über den HTTP Port 80 oder deb HTTPS Port 443 ins Netz übertragen und erst dann vom tunneling Dienst wieder "entpackt".
Aber eben, miete doch einfach für wenige Euros im Monat einen Webspace bez VServer.