Outlok

Welche Einstellung hast du gewählt 
IMAP oder POP3.
Wenn die Einstellung IMAP lautet, dann die Konteneinstellung löschen und das Konto mit POP3 neu erstellen.
Das funktioniert aber nur wenn du die Einstellungen selbst vornimmst und es Outlook nicht automatisch machen lässt.

Du hasz vermutlich in den Kontoeinstellungen eine Markierung gesetzt bei
Kopie verbleibt auf dem Server
Entferne die Markierung, dann wird dein Postfach jedesmal geleert, sobald du neue Posteingänge abholst.

Hallo und wie müssen da die Einstellungen sein?

Schau dir diesen Beitrag an und vergleiche deine Konteneinstellungen mit den eingefügten Bildern.
In deinen Einstellungen darf eben keine Markierung gesetzt sein "Kopie aller Nachrichten auf dem Server belassen".

und hier nochmals bei Microsoft:
http://office.microsoft.com/de-de/outlook-help/aufbewahren-von-e-mail-nachrichten-auf-dem-e-mail-server-HA001150793.aspx

oder gilt deine Frage zum Hinweis "IMAP"-Zugriff einrichten?
IMAP = Internet Message Access Protocol
http://de.wikipedia.org/wiki/Internet_Message_Access_Protocol

das Kästchen "Kopien der Nachrichten verbleiben auf dem Server"
ist nicht aktiviert.
Aber nach öffnen von Outlok erscheinen die runtergeladenen Nachrichten in unterschiedlicher Menge sofort mehrmals.

Welche Einstellung hast du gewählt 
IMAP oder POP3.

Hallo, ich habe POP3 eingestellt.

In dem Falle (POP3 und keine Markierung bei den "verbleibenden Kopien...") ist es verwunderlich, wenn du beim nächsten "Post abholen" einen ganzen Sack voller (bereits älterer) E-Mails wieder "auf's Auge gedrückt" bekommst.

Rat: Kontaktaufnahme per E-Mail mit der Service-Hotline von GMX - vielleicht haben die Serverprobleme, die denen bekannt sind.