LAN-Verbindung zur Fritz!Box nicht möglich; kein Netzwerkzugriff und kein Zugang zum Internet;

Kannst du erst mal die integrierte Technik in deinem lokalen Netz genauer vorstellen?
Ist dein Anschluß ein Kabelanschluß oder ein DSL-Anschluß von KD?
... mit dem gelben LAN-Kabel direkt vom Modem in den PC
dann vermute ich: du meinst einen "Kabelmodem"? - welchen?
Natürlich kann eine Direktverbindung Modem <-> PC hergestellt werden - dann muß aber der Breitbandzugang zum Server von KD an deinem PC eingerichtet werden (DFÜ-Verbindung).
Du mußt aber die Einschränkung hinnehmen, daß bei solcher Leitungsführung (LAN) nur ein einziger PC Verbindung mit dem Internet aufnehmen kann.

Ach du liebes bisschen! Was ist der Unterschied zwische Kabel-anschluss oder DSL-Anschluss von KD?
Mit Modem meinte ich das Kabelmodem "THOMPSON"
Zum nächsten Punkt: Diese Einschränkung möchte ich auf keinen Fall!
Ich würde nur einfach gerne ohne dieses "weg vom Strom, wieder hin" ins Internet kommen!

Das Thomson-Gerät ist ein Kabelmodem - hat aber auch eine Gerätebezeichnung (Thomson THG540... ?)
Das Netzwerkkabel vom Kabelmodem zur Fritz!Box Fon WLAN 7270 hast du an welchen LAN-Port der Box angesteckt? (LAN-1 ?)
Da du die Fritzbox nach einem Modem betreibst, darf kein zweiter Modem wirksam sein (und die Fritz!Boxen werden von AVM mit integriertem DSL-Modem produziert).
Anleitungen bei KD:
https://www.kabeldeutschland.de/csc/hilfe/geraete/homebox_fritz_box_7270#tab001

Leider kann ich die Gerätebezeichnung für das Thomson nicht sehen, da es von KD entsprechend montiert wurde.Es ist auf eine Holzplatte montierte und diese an die Wand geschraubt.

Das Netzwerkkabel vom Kabelmodem ist an LAN-1 der Fritz!Box angesteckt und von LAN-2 führt das gelbe Kabel zum PC.

Ich habe aber keine Änderungen vorgenommen. Diese Folge der Verbindungen war bzw. ist seit Inbetriebnahme so.
Mein Mann nutzt seinen PC im Obergeschoss über WLAN und hat keine Probleme mit dem Zugang zum Internet.

Die einleitende Bemerkung
"Nach 4 bis 5 erfolgreichen Zugängen zum Netz erhalte ich obige Meldung."
ist mir unklar.
Soll das heißen: 4- bis 5-mal kann die Verbindung mit Zugang zum Internet ohne jegliche Probleme genutzt werden - anschließnd ist mit der Unterbrechung zu rechnen?

Wenn die Verbindung unterbrochen ist -> rufe mal über das "Netzwerk- & Freigabecenter" - die Problembehandlung auf und gib bitte die Ergebnisse der Routine hier bekannt.

Ein IP-Protokoll (auch in solcher Ausfallsituation erstellt) wäre hilfreich, nach Ursachen zusuchen.
In diesem Thread habe ich beschrieben wie solches Protokoll erzeugt werden kann.
http://www.computerhilfen.de/hilfen-22-421727-0.html#2190142

Ich habe den Rat befolgt. Antwort: Ich soll mal kurz den Stecker ziehen ...