Hallo,
zu früh gefreut- es _hatte_ bis vor dem Neustart funktioniert, doch dann... 
Erstmal vielen Dank für die Hilfe!
Da Du nur Dein Heimnetzwerk brauchst - deinstalliere das zweite Netzwerk über das Netzwerk- und Freigabecenter (zumal es noch als öffentliches Netz eingerichtet ist).
Das hatte ich schon gestern Abend versucht- wieder mit wirren Ergebnissen. Ich bin auf das öffentliche
Netzwerk gegangen und dann irgendwo auf Entfernen oder Deaktivieren o.ä.
Das wurde auch irgendwo positiv quittiert, aber in der Übersicht war auch weiterhin diese Verbindung eingetragen....
Nach Deinem Tip hier habe ich es dann nochmals, aber anders versucht: Ich habe die LAN-Verbindung zu diesem öffentl.
Netzwerk deaktiviert - mit dem Ergebnis, daß gar kein
LAN mhr vorhanden war, auch nicht mehr im Heimnetzwerk!
Als nächstes: "Neue Vrbindung oder neues
Netzwerk einrichten"- der folgende Dialog sah schon ganz gut aus; einfach User und PW für den Zugang zum
ISP eintragen. Aber eigentlich sind das ja Daten, die schon mein
Router / DSL-Modem hat.
Es ging dann aber mangels
LAN, s.o., nicht weiter.
Über "Adaptereinstellung" habe ich dann wieder die LAN-Verbindung aktiviert- und voilà: In der Übersicht ist schön übersichtlich meine EeeBox,dann ein Häuschen als Heimnetzwerk (wo vorher mehrere Netzwerke angezeigt waren!*), und "Internet" _ohne_ rotes Kreuz dazwischen angezeigt! Und tatsächlich: es geht wieder!
*) Zusatz: Da es einfach so komplex war, hatte ich das vorher IIRC nicht erwähnt: Zu diesem
Netzwerk gehörte der Rechner selbst und ein Mediaplayer von
Windows... ??? Vielleicht hat das damit zu tun, daß die EeeBox von Asus irgendwie als Medienplayer vorbereitet wurde, aber keine Ahnung.
Die IP- und DNS-Einträge sind zu finden vom Netzwerk- und Freigabecenter aus: nach Markieren "LAN" -> Eigenschaften -
Neues Menü "Status von LAN" - Eigenschaften aufrufen -
Neues Menü "Eigenschaften von LAN-Verbindung" im Fenster "Elemente..." - das Internetprotokoll Version4 markieren - Eigenschaften aufrufen
Ahh...ok, darüber bin ich gestolpert: ich wußte nicht, daß man die einzelnen Zeilen markieren und hiervon wiederum Eigenschaften aufrufen kann...
Durch zwischenzeitl. ipconfig/all-Abfrage hatte ich schon gesehen, daß der 2. DNS-Server noch da ist (die Verbindung aber trotzdem funktioniert) und in den Eigenschaften von IPv4 zeigte sich dann auch warum: er ist als alternativer DNS-Server eingetragen. Ich dachte schon, daß ein zweiter DNS-Server sich irgendwie "eingeschlichen" hätte ud nun mit dem ersten konkurriert und so Probleme bereiten würde. Also ich habe ihn dann so gelassen, stört ja nicht, sondern nutzt, falls der erste DNS-Server ausfällt.
Das Konfigurationsmenü zu IP und DNS öffnet
(Bei automatischer Adressvergabe vom Router sollten hier keine Eintragungen auftauchen.)
Ja, ist auch so der Fall.
Dann kam der Neustart. Dies war immer das Ereignis, nach dem wieder Probleme auftaucten, auch wenn es irgendwann zwischendurch wieder funktionierte...
Und so kam es auch: Wieder keine Verbindung, wieder, statt des einzelnen braven Heimnetzwerks in der Mitte der graphischen Darstellung im
Netzwerk- und Freigabecenter, die Anzeige von "Mehrere Netzwerke" und die bestehen aus, wie *oben erwähnt, der EeeBox und diesem
Windows MediaPlayer, dn ich nicht abstellen kann- und offenbar konfigueriert sich dieses ungewollte
Netzwerk bei jedem Neustart neu! Typisch
Windows... 
Ich bin in die Einstellungen des MediaPlayers rein und habe alles abgestellt, was ich gesehen habe und irgendwie mit
Netzwerk und
Internet zu tun hat- es nutzt nichts.
Diese "Windows Netzwerkdiagnose" ist sowieso nie eine Hilfe gewesen- es wurde noch nie ein Fehler fstgestellt.
Da dieser Medienplayer (ich glaube so heißt das Teil) womöglich Teil oder Ursache des Problems war: kommt es öfter vor, daß der sich als
Netzwerk installiert?
Also ich weiß einfach nicht mehr weiter, wenn das jetzt so weitergeht, kauf ich mir wieder nen Mac, da hatte ich nie Probleme mit
Nachtrag:
Unter "Netzwerk" im Explorer sehe ich nun:
Zwei Computer: Die EeeBox und den EeePC
Und "Multimedia", das ist der MediaPlayer, s.o.
Nachtrag II:
Es ist reproduzierbar: Nach Deaktivieren der LAN-Verb. sind beide Netzwerke weg, bei Reaktivieren ist, wie oben beschrieben, das Heimnetzwerk allein da und es funktioniert. Bis zum nächsten Neustart...
Das dürfte das Problem schon ziemlich eingrenzen, trotzdem stehe ich auf dm Schlauch.... ???
ipconfig-all-EeePC-funktionierendes-Internet.PNG
